微积分的力量

微积分是人类历史上的伟大思想成就之一，也是数学领域不可或缺的一个重要分支。除此之外，我们更应该关注的事实是：如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查，也不可能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病，以及弄明白如何把5000首歌曲装进口袋里。在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？在《微积分的力量》书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。”在高中和大学时期，尽管我们中的许多人都对这门课程退避三舍，但斯托加茨用一种新颖独特和接地气儿的方式给我们讲述了微积分的历史。相信在读完《微积分的力量》后，我们都会对微积分有更加立体生动的认知，就像欣赏名画、名曲那样发现微积分之美。

引言//001

写给每个人的微积分读物//002

由微积分主宰的世界//004

微积分不只是一种语言//006

不合理的有效性//007

无穷原则//008

石巨人与无穷//010

曲线、运动和变化//011

第1章无穷的故事//019

作为桥梁的无穷//023

比萨证明//024

极限与墙之谜//028

0.333…的故事//030

无穷多边形的故事//032

无穷的魅力和危险//033

除数为0的禁忌//034

实无穷之罪//036

芝诺悖论//037

芝诺悖论走向数字化//040

当芝诺悖论遇上量子力学//042

第2章驾驭无穷的勇士//047

夹逼法与圆周率//051

圆周率之道//055

立体主义与微积分//057

奶酪论证//062

阿基米德方法//065

从计算机动画到面部手术//074

探索运动之谜//079

第3章运动定律的探索之旅//081

亚里士多德的世界观//084

伽利略出场//088

下落、滚动与奇数定律//090

科学极简主义的艺术//093

从摆动的吊灯到GPS//095

开普勒与行星运动之谜//102

开普勒第一定律：椭圆轨道//105

开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积//107

开普勒第三定律：行星的公转周期//109

开普勒与伽利略的异同点//110

阴云密布//112

第4章微分学的黎明//115

代数在东方的崛起//118

代数的兴起与几何学的衰落//119

代数与几何学的邂逅//121

方程与曲线//124

在一起，会更好//126

费马vs笛卡儿//126

寻找失传已久的发现方法——分析//129

行李箱的优化问题//131

费马如何帮助了美国联邦调查局？//135

短时间原理//142

关于切线的争论//146

近在眼前的应许之地//149

第5章微积分的十字路口//151

函数的作用//155

幂函数//156

指数函数//157

10的次方//158

对数//161

自然对数及其指数函数//164

指数增长与指数式衰减的机制//167

第6章变化率和导数//171

微积分的三大核心问题//175

线性函数及其恒定的变化率//178

非线性函数及其不断变化的变化率//182

作为昼长变化率的导数//186

作为瞬时速度的导数//191

第7章隐秘的源泉//199

面积、积分和基本定理//202

运动使基本定理更直观//203

恒定的加速度//206

用油漆滚筒证明基本定理//210

基本定理的意义//213

积分学的圣杯//214

局部vs整体//219

一个孤寂的男孩//221

玩转幂级数//223

混搭大师//228

私密的微积分//229

第8章思维的虚构产物//233

眨眼之间//237

无穷小量//238

2.001的立方//240

微分//242

微分求导法//243

通过微分推导出基本定理//245

莱布尼茨是如何发现微分和基本定理的？//248

在微积分的帮助下对抗HIV//255

第9章宇宙的逻辑//263

自然的逻辑//267

二体问题//272

牛顿力学与《隐藏人物》//275

牛顿微积分与《独立宣言》//276

连续体与离散集//278

常微分方程与偏微分方程//279

偏微分方程与波音787客机//282

无处不在的偏微分方程//285

第10章波、微波炉和脑成像//287

弦理论//292

为什么是正弦波？//296

振动模态的可视化：克拉德尼图形//299

值得尊崇的勇气//301

微波炉//302

为什么微波炉初被称作雷达灶？//303

CT与脑成像//304

第11章微积分的未来//311

DNA的缠绕数//315

决定论及其局限性//318

非线性//320

混沌//322

庞加莱图//324

走上战场的非线性//326

微积分与计算机联盟//327

复杂与高维诅咒//328

计算机、人工智能和洞察力之谜//332

结语//337

小数点后8位//337

发现正电子//339

可以理解的宇宙//341

致谢//345

注释//349