微积分的力量

微积分是人类历史上的伟大思想成就之一，也是数学领域不可或缺的一个重要分支。除此之外，我们更应该关注的事实是：如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查，也不可能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病，以及弄明白如何把5 000首歌曲装进口袋里。
在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？
在《微积分的力量》书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。”在高中和大学时期，尽管我们中的许多人都对这门课程退避三舍，但斯托加茨用一种新颖独特和接地气儿的方式给我们讲述了微积分的历史。相信在读完《微积分的力量》后，我们都会对微积分有更加立体生动的认知，就像欣赏名画、名曲那样发现微积分之美。

引言 // 001
写给每个人的微积分读物 // 002
由微积分主宰的世界 // 004
微积分不只是一种语言 // 006
不合理的有效性 // 007
无穷原则 // 008
石巨人与无穷 // 010
曲线、运动和变化 // 011
第1章 无穷的故事 // 019
作为桥梁的无穷 // 023
比萨证明 // 024
极限与墙之谜 // 028
0.333…的故事 // 030
无穷多边形的故事 // 032
无穷的魅力和危险 // 033
除数为 0 的禁忌 // 034
实无穷之罪 // 036
芝诺悖论 // 037
芝诺悖论走向数字化 // 040
当芝诺悖论遇上量子力学 // 042
第2章 驾驭无穷的勇士 // 047
夹逼法与圆周率 // 051
圆周率之道 // 055
立体主义与微积分 // 057
奶酪论证 // 062
阿基米德方法 // 065
从计算机动画到面部手术 // 074
探索运动之谜 // 079
第3章 运动定律的探索之旅 // 081
亚里士多德的世界观 // 084
伽利略出场 // 088
下落、滚动与奇数定律 // 090
科学极简主义的艺术 // 093
从摆动的吊灯到GPS // 095
开普勒与行星运动之谜 // 102
开普勒第一定律：椭圆轨道 // 105
开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积 // 107
开普勒第三定律：行星的公转周期 // 109
开普勒与伽利略的异同点 // 110
阴云密布 // 112
第4章 微分学的黎明 // 115
代数在东方的崛起 // 118
代数的兴起与几何学的衰落 // 119
代数与几何学的邂逅 // 121
方程与曲线 // 124
在一起，会更好 // 126
费马vs笛卡儿 // 126
寻找失传已久的发现方法——分析 // 129
行李箱的优化问题 // 131
费马如何帮助了美国联邦调查局？ // 135
最短时间原理 // 142
关于切线的争论 // 146
近在眼前的应许之地 // 149
第5章 微积分的十字路口 // 151
函数的作用 // 155
幂函数 // 156
指数函数 // 157
10 的次方 // 158
对数 // 161
自然对数及其指数函数 // 164
指数增长与指数式衰减的机制 // 167
第6章 变化率和导数 // 171
微积分的三大核心问题 // 175
线性函数及其恒定的变化率 // 178
非线性函数及其不断变化的变化率 // 182
作为昼长变化率的导数 // 186
作为瞬时速度的导数 // 191
第7章 隐秘的源泉 // 199
面积、积分和基本定理 // 202
运动使基本定理更直观 // 203
恒定的加速度 // 206
用油漆滚筒证明基本定理 // 210
基本定理的意义 // 213
积分学的圣杯 // 214
局部vs整体 // 219
一个孤寂的男孩 // 221
玩转幂级数 // 223
混搭大师 // 228
私密的微积分 // 229
第8章 思维的虚构产物 // 233
眨眼之间 // 237
无穷小量 // 238
2.001 的立方 // 240
微分 // 242
微分求导法 // 243
通过微分推导出基本定理 // 245
莱布尼茨是如何发现微分和基本定理的？ // 248
在微积分的帮助下对抗HIV // 255
第9章 宇宙的逻辑 // 263
自然的逻辑 // 267
二体问题 // 272
牛顿力学与《隐藏人物》 // 275
牛顿微积分与《独立宣言》 // 276
连续体与离散集 // 278
常微分方程与偏微分方程 // 279
偏微分方程与波音 787 客机 // 282
无处不在的偏微分方程 // 285
第10 章 波、微波炉和脑成像 // 287
弦理论 // 292
为什么是正弦波？ // 296
振动模态的可视化：克拉德尼图形 // 299
最值得尊崇的勇气 // 301
微波炉 // 302
为什么微波炉最初被称作雷达灶？ // 303
CT与脑成像 // 304
第11 章 微积分的未来 // 311
DNA的缠绕数 // 315
决定论及其局限性 // 318
非线性 // 320
混沌 // 322
庞加莱图 // 324
走上战场的非线性 // 326
微积分与计算机联盟 // 327
复杂系统与高维诅咒 // 328
计算机、人工智能和洞察力之谜 // 332
结语 // 337
小数点后 8 位 // 337
发现正电子 // 339
可以理解的宇宙 // 341
致谢 // 345
注释 // 349

[美]史蒂夫·斯托加茨，美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。他为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台、《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。