测度、积分与实分析

本书是一本十分畅销的实分析教材，全面讲述了测度、积分和实分析的基础理论，可以用作一学期或者两学期课程的教材，为读者进一步深入学习奠定基础。本书从测度和积分开始，简要介绍了黎曼积分，并建立起勒贝格测度和抽象测度的概念，接着全面讲述了实分析的核心内容：积分、微分、巴拿赫空间、Lp空间、希尔伯特空间、傅里叶分析、实测度和复测度以及傅里叶分析和概率测度等。

本书讲述测度、积分和实分析的基本理论。在简要回顾Riemann积分及其不足的基础上，引入测度和积分的概念。接着详细讲解R上的外测度、可测空间与可测函数、Lebesgue测度等测度论基础，以及Banach空间、Hilbert空间、实测度与复测度、Fourier分析等进阶知识。书中穿插一些数学家的故事和数学概念的发展历史，增加了趣味性。定理的严谨证明、恰当的例子以及大量的习题，能够帮助读者理解掌握相关知识。本书在多所大学进行了广泛的课堂测试，是学生进入研究生数学之旅的理想资源。

Sheldon Axler以最高荣誉从普林斯顿大学获得数学学士学位，接着从加州大学伯克利分校获得数学博士学位。<br />在麻省理工学院担任摩尔博士后讲师期间，Axler获得了校级教学奖。随后他在密歇根州立大学担任助理教授、副教授和教授，期间他获得了首届J. Sutherland Frame教学奖与杰出教师奖。<br />Axler于1996年获得了美国数学协会颁发的Lester R. Ford阐述性写作奖。除了发表大量研究论文外，他还是6部数学教材的作者，这些教材涵盖从大一到研究生阶段的内容。他的书Linear Algebra Done Right已被300多所大学采用为教材。<br />Axler曾担任Mathematical Intelligencer的主编与American Mathematical Monthly的副主编。他还是美国数学协会理事会以及数学科学研究所董事会成员。他还曾担任Springer出版社“Undergraduate Texts in Mathematics”“Graduate Texts in Mathematics”“Universitext”和“Springer Monographs in Mathematics”系列丛书的编委会委员。<br />他曾获得美国数学协会会士和加利福尼亚科学和技术委员会高级研究员称号。<br />Axler于1997年加入旧金山州立大学担任数学系主任。2002年，他成为旧金山州立大学科学与工程学院院长。在担任院长13年后，他回到数学系继续任教授。

译者序<br />致学生的前言<br />致教师的前言<br />作者简介<br />致谢<br /><br />第1章Riemann积分1<br />1.1回顾：Riemann积分1<br />1.2Riemann积分不够好7<br />第2章测度11<br />2.1R上的外测度11<br />2.1.1外测度的动机与定义11<br />2.1.2外测度的好性质12<br />2.1.3闭有界区间的外测度15<br />2.1.4外测度是不可加的18<br />2.2可测空间与可测函数21<br />2.2.1σ代数22<br />2.2.2R的Borel子集23<br />2.2.3原像25<br />2.2.4可测函数26<br />2.3测度及其性质34<br />2.3.1测度的定义与例子34<br />2.3.2测度的性质35<br />2.4Lebesgue测度38<br />2.4.1外测度在Borel集上的可加性<br />38<br />2.4.2Lebesgue可测集43<br />2.4.3Cantor集与Cantor函数46<br />2.5可测函数的收敛性52<br />2.5.1逐点收敛与一致收敛52<br />2.5.2Egorov定理53<br />2.5.3用简单函数逼近54<br />2.5.4Luzin定理55<br />2.5.5Lebesgue可测函数58<br />第3章积分62<br />3.1关于测度的积分62<br />3.1.1非负函数的积分62<br />3.1.2单调收敛定理65<br />3.1.3实值函数的积分69<br />3.2积分的极限与极限的积分75<br />3.2.1有界收敛定理75<br />3.2.2积分定理中测度为0的集合76<br />3.2.3控制收敛定理77<br />3.2.4Riemann积分与Lebesgue积分<br />80<br />3.2.5用好的函数逼近81<br />第4章微分87<br />4.1Hardy-Littlewood极大函数87<br />4.1.1Markov不等式87<br />4.1.2Vitali覆盖引理88<br />4.1.3Hardy-Littlewood极大不等式<br />89<br />4.2积分的导数92<br />4.2.1Lebesgue微分定理92<br />4.2.2导数94<br />4.2.3密度96<br />第5章乘积测度100<br />5.1测度空间的乘积100<br />5.1.1σ代数的乘积100<br />5.1.2单调类定理103<br />5.1.3测度的乘积106<br />5.2累次积分110<br />5.2.1Tonelli定理110<br />5.2.2Fubini定理112<br />5.2.3图像下的面积114<br />5.3Rn上的Lebesgue测度116<br />5.3.1Rn的Borel子集116<br />5.3.2Rn上的Lebesgue测度118<br />5.3.3Rn中单位球的体积119<br />5.3.4借助于Fubini定理的混合偏导<br />的等式121<br />第6章Banach空间125<br />6.1度量空间125<br />6.1.1开集、闭集以及连续性125<br />6.1.2Cauchy序列与完备性129<br />6.2向量空间132<br />6.2.1复值函数的积分132<br />6.2.2向量空间与子空间135<br />6.3赋范向量空间139<br />6.3.1范数与完备范数139<br />6.3.2有界线性映射142<br />6.4线性泛函146<br />6.4.1有界线性泛函146<br />6.4.2不连续线性泛函148<br />6.4.3Hahn-Banach定理151<br />6.5Baire定理的结果156<br />6.5.1Baire定理156<br />6.5.2开映射定理与逆映射定理158<br />6.5.3闭图像定理160<br />6.5.4一致有界原理161<br />第7章Lp空间165<br />7.1Lp(μ)165<br />7.1.1Hlder不等式165<br />7.1.2Minkowski不等式169<br />7.2Lp(μ)172<br />7.2.1Lp(μ)的定义172<br />7.2.2Lp(μ)是Banach空间173<br />7.2.3对偶性175<br />第8章Hilbert空间179<br />8.1内积空间179<br />8.1.1内积179<br />8.1.2Cauchy-Schwarz不等式与三角<br />不等式181<br />8.2正交性189<br />8.2.1正交投影189<br />8.2.2正交补193<br />8.2.3Riesz表示定理197<br />8.3规范正交基200<br />8.3.1Bessel不等式200<br />8.3.2Parseval等式206<br />8.3.3Gram-Schmidt过程与规范正交<br />基的存在性207<br />8.3.4重新审视Riesz表示定理211<br />第9章实测度与复测度215<br />9.1全变差215<br />9.1.1实测度与复测度的性质215<br />9.1.2全变差测度218<br />9.1.3测度的Banach空间221<br />9.2分解定理224<br />9.2.1Hahn分解定理224<br />9.2.2Jordan分解定理226<br />9.2.3Lebesgue分解定理227<br />9.2.4Radon-Nikodym定理228<br />9.2.5Lp(μ)的对偶空间231<br />第10章Hilbert空间上的线性映射<br />236<br />10.1伴随与可逆性236<br />10.1.1Hilbert空间上的线性映射的<br />伴随236<br />10.1.2伴随的零空间与值域240<br />10.1.3算子的可逆性241<br />10.2谱247<br />10.2.1算子的谱247<br />10.2.2自伴算子251<br />10.2.3正规算子254<br />10.2.4等距与酉算子257<br />10.3紧算子262<br />10.3.1紧算子理想262<br />10.3.2紧算子的谱和Fredholm择一<br />定理265<br />10.4紧算子的谱定理273<br />10.4.1特征向量组成的规范正交基<br />273<br />10.4.2奇异值分解278<br />第11章Fourier分析284<br />11.1Fourier级数与Poisson积分<br />284<br />11.1.1Fourier系数与Riemann-Lebesgue<br />引理284<br />11.1.2Poisson核288<br />11.1.3圆盘上的Dirichlet问题的解<br />292<br />11.1.4光滑函数的Fourier级数294<br />11.2Fourier级数与单位圆的Lp<br />297<br />11.2.1单位圆的Lp的规范正交基<br />298<br />11.2.2单位圆上的卷积299<br />11.3Fourier变换304<br />11.3.1L1(R)上的Fourier变换304<br />11.3.2R上的卷积308<br />11.3.3上半平面的Poisson核310<br />11.3.4Fourier反演公式313<br />11.3.5延拓Fourier变换到L2(R)<br />315<br />第12章概率测度319<br />12.1概率空间319<br />12.2独立事件与独立随机变量322<br />12.3方差和标准差326<br />12.4条件概率与Bayes定理327<br />12.5随机变量的分布函数与密度<br />函数329<br />12.6弱大数定律332<br />参考书目336