循环矩阵及其算法

本书系统阐述循环矩阵与广义循环矩阵的理论体系及高效算法，聚焦其在计算数学与工程领域的核心应用价值。循环矩阵凭借高度对称、可分的周期性结构，在图像重建、5G通信、信号处理等场景中展现出显著的计算优势，已成为线性代数与工程应用交叉研究的热点。全书共5章，在梳理循环矩阵发展脉络与基础理论的前提下，重点介绍循环矩阵及多重循环、分块循环等广义循环矩阵的非奇异判定、求逆、乘积运算，结合FFT实现算法加速；深入研究循环矩阵平方根矩阵与对数矩阵的构造、存在性及快速求解方法，通过优化迭代、插值、递归等策略大幅降低计算复杂度，部分算法浮点操作数从O(n3)降至对数阶。本书兼顾理论严谨性与工程实用性，适合具备本科数值代数基础的高校师生、科研及工程技术人员阅读，可为大规模矩阵运算、信号与图像处理等研究提供算法支撑。

第1章 绪论与预备知识

1.1 引言

1.2 矩阵的Kronecker积及其主要性质

1.3 置换矩阵

1.4 傅里叶（Fourier）矩阵的性质简介

1.5 广义逆

1.6 基本符号

1.7 本书内容及安排

第2章 循环矩阵及其相关算法

2.1 循环矩阵可逆性的判定

2.2 基于快速傅里叶变换的算法

2.2.1 循环矩阵求逆算法

2.2.2 两个循环矩阵相乘的算法

2.3 基于矩阵分块降阶的算法

2.3.1 循环矩阵求逆算法

2.3.2 两个循环矩阵相乘的算法

2.4 循环矩阵线性方程组的迭代算法

第3章 几类广义循环矩阵及其算法

3.1 (n？,n？)型二重(r？,r？)-循环矩阵求逆与相乘的快速算法

3.2 (R,r)-循环分块矩阵求逆与相乘的快速算法

3.3 (n？,n？,…,n？)型k重(r？,r？,…,r？)-循环矩阵求逆与相乘的快速算法

3.4 鳞状因子循环矩阵求逆与相乘的快速算法

3.5 分块鳞状因子循环矩阵求逆的快速算法

3.6 广义(h,r)-循环矩阵的性质及其算法

第4章 几类循环矩阵的平方根矩阵

4.1 矩阵的平方根矩阵

4.1.1 Jordan块的平方根矩阵

4.1.2 矩阵多项式的平方根矩阵

4.2 循环矩阵的平方根矩阵

4.3 拟斜循环矩阵的平方根矩阵

4.4 鳞状因子循环矩阵的平方根矩阵

4.5 r-首尾和循环矩阵的平方根矩阵

第5章 几类循环矩阵的对数矩阵

5.1 循环矩阵的对数矩阵

5.2 拟斜循环矩阵的对数矩阵

5.3 Hermite循环矩阵的对数矩阵

5.4 广义循环矩阵的对数矩阵

5.5 鳞状因子循环矩阵的对数矩阵

参考文献

后记