几何与代数导引

本书覆盖了"高等代数"与"解析几何"这两门课程的教学内容.全书共分8章,分别讨论:向量、平面与直线,二次曲面与坐标变换,线性空间与线性映射,矩阵、线性方程组与行列式,多项式,线性变换,双线性型与欧氏空间,仿射空间与射影空间.本书力求体现几何与代数的内在联系,强调线性空间与线性映射的观点,突出向量、坐标、标准形的线索,注重学生的抽象思维能力和空间想象能力的培养.

本书可作为高等院校数学及相关专业的教材或教学参考书

《大学数学科学丛书》序

前言

第1章向量、平面与直线1

1.1向量的线性运算1

1.1.1加法和数乘1

1.1.2共线与共面5

1.2基与仿射坐标系8

1.2.1向量的坐标8

1.2.2点的坐标9

1.3向量的内积与外积11

1.3.1投影11

1.3.2内积13

1.3.3外积14

1.3.4体积与行列式16

1.4空间的平面与直线21

1.4.1平面与直线的方程21

1.4.2位置关系25

1.4.3度量性质27

习题130

第2章二次曲面与坐标变换34

2.1常见曲面及其方程34

2.1.1图形与方程34

2.1.2旋转面38

2.1.3柱面与锥面42

2.2二次曲面的几何性质47

2.2.1对称性47

2.2.2平面截线48

2.2.3直纹面52

2.3坐标变换53

2.3.1平面坐标变换54

2.3.2二次曲线方程的化简56

2.3.3空间坐标变换59

2.3.4二次曲面方程的化简61

2.4等距变换与仿射变换63

2.4.1映射63

2.4.2平面点变换65

2.4.3空间点变换68

习题271

第3章线性空间与线性映射77

3.1线性空间77

3.1.1数域77

3.1.2线性空间的定义78

3.1.3子空间81

3.2基和维数84

3.2.1线性相关与线性无关84

3.2.2基的存在性与维数不变性86

3.2.3子空间的维数与向量组的秩89

3.3线性映射91

3.3.1线性映射的像与核91

3.3.2线性映射的运算95

3.3.3线性函数与对偶空间97

3.4商空间与直和101

3.4.1商空间与同态基本定理101

3.4.2直和与投影变换103

习题3109

第4章矩阵、线性方程组与行列式114

4.1矩阵的基本运算114

4.1.1线性运算114

4.1.2矩阵乘法116

4.1.3分块方法120

4.1.4向量的坐标变换123

4.2矩阵与线性方程组126

4.2.1Gauss消去法126

4.2.2矩阵的秩与初等变换131

4.2.3线性方程组的理论138

4.3方阵的行列式143

4.3.1行列式的定义及基本性质143

4.3.2Laplace展开定理150

4.3.3Cramer法则153

习题4156

第5章多项式165

5.1基本概念165

5.1.1代数165

5.1.2一元多项式代数166

5.1.3带余除法169

5.1.4整除与同余171

5.2多项式的根172

5.2.1一般性质172

5.2.2复系数与实系数多项式的根176

5.3因式分解177

5.3.1最大公因式177

5.3.2唯一因式分解定理181

5.3.3重因式183

5.3.4有理系数多项式184

5.4多元多项式简介187

5.4.1基本概念187

5.4.2对称多项式189

习题5194

第6章线性变换200

6.1特征值与特征向量200

6.1.1线性映射的矩阵200

6.1.2线性变换的矩阵203

6.1.3特征值与特征向量205

6.1.4对角化208

6.2不变子空间211

6.2.1线性变换的限制212

6.2.2实向量空间的复化213

6.2.3最小多项式214

6.2.4Cayley-Hamilton定理216

6.2.5准素分解217

6.3Jordan标准形218

6.3.1根子空间分解218

6.3.2幂零变换的循环分解220

6.3.3Jordan标准分解221

6.4多项式矩阵方法224

6.4.1多项式矩阵224

6.4.2Jordan标准形的计算231

习题6234

第7章双线性型与欧氏空间240

7.1双线性函数242

7.1.1双线性函数的定义及基本性质242

7.1.2正交化方法与分类定理246

7.1.3二次型及其标准形251

7.2欧氏空间256

7.2.1基本性质256

7.2.2标准正交基259

7.2.3欧氏空间的同构261

7.2.4向量到子空间的距离262

7.3欧氏空间上的线性变换265

7.3.1线性变换的伴随265

7.3.2（斜）对称变换266

7.3.3正交变换269

7.3.4正规变换272

7.4Hermite型与酉空间273

7.4.1Hermite型274

7.4.2酉空间276

7.4.3酉空间上的线性变换277

习题7280

第8章仿射空间与射影空间287

8.1仿射空间287

8.1.1仿射空间的定义287

8.1.2仿射子空间289

8.1.3欧氏仿射空间291

8.2仿射变换与运动292

8.2.1仿射变换292

8.2.2运动296

8.3二次曲面298

8.3.1仿射性质与分类299

8.3.2度量分类与不变量304

8.3.33维实二次曲面的几何性质308

8.4射影空间313

8.4.1射影空间的定义313

8.4.2射影变换316

8.4.3对偶原理321

8.4.4射影二次曲面322

习题8325

参考文献328

附录329

1算术与代数基本定理329

2代数基本概念335

习题344

索引346

《大学数学科学丛书》已出版书目352