毕达哥拉斯的遗产： 改变数学的10个伟大思想

1.以“10 个伟大思想”为锚点，串联起数学发展的逻辑图谱。毕达哥拉斯定理作为数学史上第一个突破性思想，不仅是证明方法的起点，更引出了无理数的发现，直接推动了数系的扩展；0从“占位符” 到 “特殊数字”，见证了人类对“虚无”的数学化理解，为负数、坐标系乃至计算机二进制奠定了基础。这种串联让我们看到：数学不是零散的公式堆砌，而是一套不断自我突破的思维体系 —— 每个概念的诞生都带着解决前序问题的“使命”，又孕育着新的矛盾与突破。

2.跳出计算工具的惯性思维，坚持深度思考，追问数学的本质。书中不止讲 “是什么”，更反复追问 “为什么”：数学是被发现的还是被发明的？π、e 这些常数是宇宙的密码，还是人类思维的产物？毕达哥拉斯学派认为数先于世界存在，而书中又通过无理数、虚数的发现，展现了数学总是超出我们的想法、边界不断扩展的过程。这种思辨性让数学超越了计算工具的定位。

3.用50个趣味问题驱动对数学的深度理解。这些问题并非简单的计算题，而是将核心思想与实际应用场景相结合：婆什迦罗第二的“蛇与孔雀问题”用勾股定理解决动态路径（P24），布丰投针实验让 π 与概率产生奇妙关联（P75），以及如何用没有刻度的罐子转移定量液体（P152）和如何安全过河不被吃掉等思维游戏(P153)。

在人类社会漫长的发展进程中，数学无疑占据很重要的地位，它对我们的生产和生活都有着重大影响。但数学不是从来就有的，它在旧石器时代以简单的数学记号的形式出现在动物骨头上，之后经过数万年的发展，才有了如今这一套比较完整的数学知识体系。本书以数学发展史上的10个伟大思想勾勒出数学发展的本来面目，这10个伟大思想分别是毕达哥拉斯定理、素数、0、π、指数、e、i、无穷大、可判定性、算法。此外，本书还包含50个经典数学问题。
本书适合对数学发展史感兴趣的读者阅读。

马塞尔·达内西(Marcel Danesi)
多伦多大学教授，菲尔兹数学科学研究院认知科学网络联席主任。他在数学认知领域和数学难题理论方面发表了大量文章，还为《今日心理学》撰写博客，探讨令人困惑的思维本质。

第1章 毕达哥拉斯定理：数学的诞生 1

证明的作用远不止在逻辑上证实你的怀疑或猜想。证明需要灵感，灵感依靠想象力，而想象力依靠直觉，所以证明超越了琐碎平庸和常规俗套的现实，迫使人们更深入地探索数学世界。

第2章素数：数学的“DNA”　26
素数是容易被定义的，但是它的分布是变幻莫测的，以至于成为数学中影响非常久远、深刻的惊奇之事。

第3章　0：占位符和特殊数字　40
如果没有　0 ，数学便不能成为一个强大的科学工具。但是作为一个特殊的数字，0 在数学系统中也造成了“故障”，例如 0 作为除数时的谬误。但是错误本身往往是新想法的来源。

第4章　π（圆周率）：一个无处不在又不同寻常的数字　62
π存在于从恒星轨道到心脏脉搏的一切事物中，即便我们不能直接从生活中看到它，但
它依然影响着我们生活中的一切。我们只能从与圆相关的比例、数轴上的一点等地方片面地感受它，但是它确实无处不在。

第5章指数：符号和发现　77
googolplex被定义为　10 的 googol 次幂，我们无法想象这到底代表多大的数字。天文学家卡尔·萨根曾经说过，写出一个 googolplex 在物理上根本不可能，因为宇宙中没有足够的空间。

第6章e：一个非常特殊的数字　91
术语“方程”意味着可以解决的问题，就像通过求解　x + 2 = 4可以得到 x=2，但是欧拉恒等式不是这样的。这个方程没有解，它只是一个事实陈述。

第7章　i：虚数　103
在现实世界，如果你能观察到某物，它就存在，如果观察不到，还可以从能观察到的事物中推断出它存在。我们知道重力存在，是因为我们可以观察到它的影响，即使没有人看得到重力……然而数字不是这样的。它不是一个东西，而是一个概念。

第8章　无穷大：一个违反直觉且自相矛盾的概念　115
一个孩子问：“上帝什么事都做得到吗？”收到肯定的答复后，她立刻问：“那他能造出一块连自己也举不起来的石头吗？”

第9章可判定性：数学的基础　130
逻辑是解决人类所有问题的唯一有效途径，因为人类大多数问题都是由情感和激情引起的，逻辑有能力驯服它们。

第10章算法：数学和计算机　143
在任何逻辑系统中，总有一些陈述是真的，但不能在陈述中证明。这意味着逻辑系统本质上是不可判定的，也包括计算机系统。
答案　155