数学的艺术 剑桥大学下午茶时光

本书是著名的组合学家、剑桥大学三一学院教授贝拉·博洛巴斯担，从自己以及三一学院的学者们多年来在下午茶时光讨论的趣味数学问题中，选择了最具有代表性和趣味性的128个数学问题，希望通过这些问题带领读者浏览庞大数学体系的冰山一角，欣赏数学之美，也希望以此引起读者对数学的兴趣。

本书是由一系列趣味数学问题串起来的普及读物。书中有128个引人入胜的数学问题，例如雾中行船、素数的倒数、凸多面体、四次方的费马定理、素数的积、巴拿赫的火柴盒问题、猴子与椰子、移动沙发问题以及蒙提·霍尔问题等。这些问题源于数学的许多领域，难度跨度很大：有些很容易，但是大多数都不容易，还有相当一部分很难，十分具有挑战性，会让读者感到很兴奋。许多问题的结果令人感到欣喜，但是这些结果只是冰山一角，只是一些重要主题的掠影。为了享受和欣赏这些问题，读者应该首先浏览整本书，然后选择一个看起来特别有吸引力的问题思考一段时间，最后参考提示或答案。按照这种方法阅读本书，读者可以进行一次愉快而丰富的数学之旅。

贝拉·博洛巴斯（Béla Bollobás）在剑桥大学三一学院担任研究员50多年，几十年来一直担任该学院数学研究主任，并且教授该学院的本科生，他也是孟菲斯大学（University of Memphis）组合学卓越主席。他是英国皇家学会会士、欧洲科学院院士、匈牙利科学院和波兰科学院外籍院士。他获得的奖项有高级怀特海奖（Senior Whitehead Prize，2007）、博茨凯奖（Bocskai Prize，2016）和塞切尼奖（Széchenyi Prize，2017）等。

译者序

前言

第一部分 问题 / 1

第二部分 提示 / 28

第三部分 解答 / 37

1. 实序列——一道面试题 / 38

2. 普通分数——西尔维斯特定理 / 39

3. 有理数与无理数的和 / 41

4. 雾中行船 / 43

5. 交集族 / 43

6. 巴塞尔问题——欧拉的解答 / 44

7. 素数的倒数——欧拉与埃尔德什 / 46

8. 整数的倒数 / 49

9. 完全矩阵 / 50

10. 凸多面体 (I) / 51

11. 凸多面体 (II) / 51

12. 一个古老的优等生考核题 / 52

13. 角平分线——雷米欧司–斯坦纳定理 / 54

14. 兰利不定角 / 54

15. 坦塔洛斯问题——来自《华盛顿邮报》 / 56

16. 勾股数 / 58

17. 四次方的费马定理 / 60

18. 相合数——费马 / 61

19. 有理数的和 / 63

20. 一个四次方程 / 65

21. 正多边形 / 67

22. 柔性多边形 / 70

23. 面积极大的多边形 / 70

24. 构造 3√2——拜占庭的菲隆 / 74

25. 外接四边形——牛顿 / 77

26. 整数分拆 / 78

27. 能被 m 和 2m 整除的分拆部分 / 81

28. 不等分拆与奇分拆 / 81

29. 稀疏基 / 82

30. 小交集——萨科奇和瑟默雷迪 / 83

31. 0-1 矩阵的对角线 / 85

32. 三格骨牌和四格骨牌的铺砌问题 / 86

33. 矩形的三格骨牌铺砌问题 / 87

34. 矩阵的数目 / 89

35. 等分圆 / 89

36. 等分圆的数目 / 90

37. 二项式系数的一个基本恒等式 / 92

38. 泰珀恒等式 / 93

39. 迪克森恒等式 (I) / 94

40. 迪克森恒等式 (II) / 95

41. 一个不一般的不等式 / 98

42. 希尔伯特不等式 / 99

43. 中心二项式系数的大小 / 101

44. 中心二项式系数的性质 / 102

45. 素数的积 / 103

46. 伯特兰公设的埃尔德什证明 / 105

47. 2 和 3 的幂 / 106

48. 2 的幂恰好小于完美幂 / 107

49. 2 的幂恰好大于完美幂 / 107

50. 素数的幂恰好小于完美幂 / 108

51. 巴拿赫的火柴盒问题 / 112

52. 凯莱问题 / 113

53. 最小与最大 / 114

54. 平方数之和 / 115

55. 猴子与椰子 / 116

56. 复多项式 / 117

57. 赌徒的破产 / 117

58. 伯特兰的箱子悖论 / 121

59. 蒙提·霍尔问题 / 122

60. 整数序列中的整除性 / 124

61. 移动沙发问题 / 125

62. 最小的最小公倍数 / 128

63. 韦达跳跃 / 129

64. 无穷本原序列 / 130

65. 具有小项的本原序列 / 131

66. 超树 / 133

67. 子树 / 133

68. 全都在一行 / 134

69. 一个美国故事 / 134

70. 六个相等部分 / 135

71. 实多项式的乘积 / 137

72. 多项式平方的和 / 139

73. 分拆的图表 / 140

74. 欧拉五角数定理 / 141

75. 分拆——最大值和奇偶性 / 144

76. 周期细胞自动机 / 145

77. 相交集合系统 / 147

78. 实数的稠密集——贝尔类型定理的一个应用 / 148

79. 盒子的分拆 / 149

80. 相异代表元 / 150

81. 分解完全图：格雷厄姆–泊拉克定理 (I) / 150

82. 矩阵与分解：格雷厄姆–泊拉克定理 (II) / 151

83. 模式与分解：格雷厄姆–泊拉克定理 (III) / 152

84. 六条共点直线 / 153

……