图像处理的分数阶微积分方法

结合数学理论与图像处理技术，为读者提供跨学科的视角
提出图像去噪、复原和分割模型，有效解决图像细节的保留问题
提出分数阶微积分为图像处理领域带来新的思路

分数阶微积分研究的是非整数阶的微分和积分，可实现的阶数灵活且自由度大，所以在图像处理领域的应用得到越来越多的关注。
本书通过特定的分数阶微积分定义与图像处理领域的重要工具——傅里叶变换和分数阶傅里叶变换，建立分数阶微积分与图像处理的关系。全书共7章，分别是绪论、图像处理及分数阶微积分基础、分数阶微积分与信号处理的关系、基于分数阶变阶微分的图像去噪方法、图像复原的分数阶偏微分方法、图像分割的分数阶微积分方法和图像增强的分数阶微积分方法。
本书论述清晰，适合计算机图形处理领域的研究人员、对分数阶微积分应用感兴趣的读者阅读，也适合作为高等院校相关专业学生的参考书。

张彦山，郑州航空工业管理学院人工智能系教师，长期从事通信工程、人工智能专业的教学与科研工作，主要研究方向为图像处理、分数阶微积分，主讲课程为信号与系统、信息论与编码。主持完成河南省高校重点科研项目1 项，河南省科技攻关项目2项。

第 1章 绪论
1.1 研究背景和研究现状 2
1.2 分数阶微积分理论 5
1.2.1 分数阶微积分理论背景 5
1.2.2 分数阶微积分理论的基本原理 6
1.3 图像处理的背景与常用方法 8
1.3.1 图像处理背景简介 8
1.3.2 图像处理的传统方法 9
1.3.3 图像处理的微积分方法 15

第 2章 图像处理及分数阶微积分基础
2.1 变分原理 18
2.2 梯度下降流 19
2.3 傅里叶变换 20
2.4 分数阶傅里叶变换 21
2.4.1 分数阶傅里叶变换的定义和重要性质 21
2.4.2 二维分数阶傅里叶变换 25
2.5 本章小结 27

第3章 分数阶微积分与信号处理的关系
3.1 问题描述 29
3.2 分数阶微积分 29
3.3 分数阶微积分与傅里叶变换的关系 31
3.4 分数阶微积分和分数阶傅里叶变换的关系 33
3.5 应用 35
3.5.1 分数阶微积分的离散化方法 35
3.5.2 分数阶微积分的求解新方法 37
3.6 本章小结

第4章 基于分数变阶微分的图像去噪方法
4.1 问题描述 40
4.2 图像去噪的偏微分方法 41
4.2.1 扩散过程的物理学背景 41
4.2.2 线性扩散与图像线性滤波 41
4.2.3 图像去噪的P-M模型 46
4.3 分数变阶微分的概念 53
4.4 基于分数变阶微分的去噪模型 55
4.4.1 模型的提出 55
4.4.2 模型的分析 56
4.5 数值实现和仿真结果 58
4.6 本章小结 65

第5章 图像复原的分数阶偏微分方法
5.1 问题的描述 67
5.2 传统的图像复原方法 68
5.3 图像复原的分数变阶偏微分模型 70
5.3.1 变分有界函数空间与圈变分范数 70
5.3.2 图像复原的TV模型 72
5.3.3 图像复原的分数变阶偏微分模型 75
5.4 数值实现和仿真结果 77
5.4.1 实验一：分数变阶偏微分图像复原模型的去噪和去模糊 78
5.4.2 实验二：提出的新模型与IRTV和BM3D算法的对比 86
5.5 本章小结

第6章 图像分割的分数阶微积分方法
6.1 图像分割的传统方法 91
6.1.1 基于聚类的方法 91
6.1.2 基于图割的方法 92
6.1.3 基于神经网络的方法 94
6.1.4 基于活动轮廓的方法 95
6.2 测地线活动轮廓模型 98
6.2.1 模型的建立 99
6.2.2 模型的水平集方法 100
6.3 矢量图像的GAC模型 102
6.3.1 矢量图像的边缘 102
6.3.2 矢量图像的GAC模型 106
6.4 无边缘活动轮廓模型 107
6.4.1 模型的建立 107
6.4.2 C-V模型的数值实现 109
6.4.3 实例和应用 110
6.5 分数阶微积分的图像分割模型 110
6.5.1 基于分数变阶微分的医学图像分割模型 111
6.5.2 模型和方法 111
6.5.3 模型的理论及算法 114
6.5.4 实验结果 118
6.5.5 结果分析 123
6.5.6 结论

第7章 图像增强的分数阶微积分方法
7.1 分数阶微积分的Grunwald-Letnikov方法 128
7.1.1 方法介绍 128
7.1.2 存在的问题 129
7.2 一种自适应分数阶微分掩模算子的构造 129
7.2.1 自相关不规则掩模区域的自主选择 130
7.2.2 自适应非整数步长划分及其像素的线性估计 132
7.2.3 分数阶阶次的自适应选择 133
7.2.4 掩模算子的自适应构造 135
7.2.5 自适应分数阶微分滤波的实现 138
7.3 自适应分数阶微分在图像增强中的应用 139
7.3.1 Roberts算子 139
7.3.2 Sobel算子 140
7.3.3 Laplacian算子 141
7.3.4 图像增强实验结果 142
7.4 与其他图像纹理增强算子对比分析 146
7.5 本章小结 149

参考文献 150