实变函数论

本书首先介绍了集合论和拓扑学的基础知识，然后结合微积分的发展简史与不完善之处，从分析学的角度系统地介绍了实变函数的基本理论框架。全书所列内容均由作者多年讲义结合国际上近期新的《实分析》教材内容整理而成，辅以数学史的注解，对初学者真正学懂这门专业课十分有益。

第1章 集合1

1.1集合1

1.1.1集合的概念1

1.1.2集合运算2

1.2基数的概念8

1.3可数集和不可数集13

习题120

第2章 n维欧氏空间上的拓扑23

2.1n维欧氏空间上的拓扑概念23

2.1.1开集，内部，拓扑23

2.1.2闭集，闭包，导集27

2.2子空间，乘积空间，紧集和连续映射31

2.2.1子空间31

2.2.2乘积空间32

2.2.3紧集33

2.2.4连续映射35

2.3开集的结构，Cantor三分集，Borel集40

2.3.1开集的结构40

2.3.2Cantor三分集43

2.3.3Borel集45

习题250

第3章 测度论53

3.1外测度54

3.2可测集57

3.3可测集类61

3.3.1可测集的进一步性质61

3.3.2一个不可测集的例子63

3.3.3集合可测性的等价定义64

3.3.4L作为B的完备化简介66

习题369

第4章 可测函数72

4.1可测函数的定义和基本性质72

4.1.1广义实数集72

4.1.2可测函数75

4.1.3几乎处处的概念79

4.2简单函数80

4.3可测函数的极限性质和构造83

4.3.1几乎处处收敛与近一致收敛84

4.3.2依测度收敛和几乎处处收敛86

4.3.3可测函数的构造89

习题491

第5章 Lebesgue积分94

5.1Lebesgue积分的引入:简单函数的积分94

5.2测度有限集合上有界可测函数的积分98

5.3Lebesgue积分和Riemann积分的关系103

5.4非负可测函数的积分106

5.5一般可测函数的积分111

5.6乘积测度与Fubini定理118

5.6.1二维乘积测度空间118

5.6.2Fubini定理121

5.6.3乘积集合的可测性127

习题5129

第6章 微分134

6.1积分的微分134

6.1.1Hardy-Littlewood极大函数135

6.1.2Lebesgue微分定理138

6.2函数的微分141

6.2.1有界变差函数141

6.2.2绝对连续函数151

6.2.3跳跃函数的导数155

习题6158

附录A 选择公理的等价形式163

习题7167

附录B 一般测度与积分理论简介168

B.1 一般测度空间168

B.2 积分170

B.3 符号测度和Randon-Nikodym定理172

参考文献175

索引177